загрузка...

трусы женские
загрузка...
Реферати » Реферати з математики » Алгебраїчні числа

Алгебраїчні числа

Зміст.

1. Введення 2
2. I. Короткий історичний нарис 3
3. II. Поле алгебраїчних чисел 4
4. 2.1. Поняття числового поля 4
5. 2.2. Алгебраїчне число 5
6. 2.3. Поле алгебраїчних чисел 11
7. III. Раціональні наближення алгебраїчних чисел 14
8. 3.1 Теорема Ліувіля 14
9. 3.2 Трансцендентні числа Ліувіля 16
10. Висновок 18

Курсова з алгебри

Тема: «Алгебраїчні числа»

Введення.

Початкові елементи математики пов'язані з появою навичок рахунки, що виникають у примітивній формі на порівняно ранніх ступенях розвитку людського суспільства, в процесі трудової діяльності.

Історично теорія чисел виникла як безпосередній розвиток арифметики. В даний час в теорію чисел включають значно ширше коло питань, що виходять за рамки вивчення натуральних чисел. У теорії чисел розглядаються не тільки натуральні числа, а й безліч всіх цілих чисел, а так само безліч раціональних чисел.

Якщо розглядати корені многочленів: f (x) = xn + a1xn-1 + ... + an з цілими коефіцієнтами, то звичайні цілі числа відповідають випадку, коли цей багаточлен має ступінь n = 1. У безлічі комплексних чисел природно виділити так звані цілі алгебраїчні числа, що представляють собою корені многочленів з цілими коефіцієнтами.

Вивчення властивостей таких чисел становить зміст одного з найважливіших розділів сучасної теорії чисел, званого алгебраїчній теорією чисел. Вона пов'язана з вивченням різних класів алгебраїчних чисел.

I. Короткий історичний нарис.

Величезне значення у розвитку теорії чисел мали чудові роботи
К. Гаусса (1777-1855). Гаусс поряд з вивченням звичайних чисел почав розглядати так само і арифметику чисел, що одержали назву цілих гауссовских чисел, а саме числа виду a + bi, де a і b - звичайні цілі числа. Ці його дослідження поклали початку алгебраїчній теорії чисел.

Теорія алгебраїчних чисел була побудована в роботах Куммера (1810 -
1893) і Дирихле (1805-1859) і розвинена потім Кронекером (1823-1891),
Дедекиндом (1831-1916) і Є.І. Золотарьовим (1847-1878). Роботи Ліувілля
(1809-1882) і Ерміта (1822-1901) з'явилися основою трансцендентних чисел.

Запитання апроксимації алгебраїчних чисел раціональними були істотно просунуті на початку століття А. Туе, а потім у п'ятдесятих роках в роботах К. Рота.

Останнім часом все більшу увагу фахівців з теорії чисел приваблює алгебраїчна теорія чисел.

Тут треба назвати роботи Г. Хассе, Е. Гекке, а особливо французького математика А. Вейля, результати якого були використані у багатьох теорико-числових дослідженнях, як наприклад Д. Берджессом в проблемі про найменше квадратичному відрахуванні.

До алгебраїчній теорії чисел відносяться і цікаві роботи радянського математика І.Р. Шафаревича, а так само роботи Б.Н. Делонга з теорії кубічних форм.

II. Поле алгебраїчних чисел.

2.1 Поняття числового поля

Природний і важливий підхід до виділення і вивчення тих чи інших множин чисел пов'язаний із замкнутістю множин чисел щодо тих чи інших дій.

Визначення 1: Ми говоримо, що деякий безліч чисел М замкнуто щодо деякого дії, якщо для всяких двох чисел їх М, для яких визначено результат даної дії над ним, число, є цим результатом, завжди належить М.

Приклад:

1) N Безліч натуральних чисел замкнуто щодо складання, т.к.

(A, b (N (((a + b) (N.

Відносно множення безліч N так само замкнуто. Але воно не є замкнутим щодо вирахування і ділення.

Дійсно:

5, 7 (N, але 5-7 =-2 (N,

3, 2 (N, але 3:2 = 1,5 (N

2) Безліч цілих чисел Z замкнуто щодо складання, вирахування і множення.

3) Безліч чисел виду 2к, к (N, замкнуто щодо множення і ділення.

2к (2l = 2k + l

2к: 2l = 2k-l

У зв'язку із замкнутістю дій на безлічі виділилися класи числових множин.
Розглянемо один їх класів, званих полем.

Визначення 2: Безліч чисел М, містять не менше двох чисел, називається числовим полем, якщо воно замкнуто щодо дій додавання, віднімання, множення і ділення.

Останнє означає, що для будь-яких a, b (M, повинно мати місце a + b, a-b, a * b (M. Так само для будь-якого a (M і будь-якого b (0 з М, повинно виконуватися a: b (M.

Приклад:

Серед найважливіших числових полів найважливішими є:

1) поле всіх раціональних чисел;

2) поле всіх дійсних чисел;

3) поле всіх комплексних чисел.

Що стосується безлічі всіх цілих чисел, то воно не є числовим полем, тому що не замкнуто щодо поділу.

Існує нескінченно багато числових полів. Нас, в даному випадку цікавить поле алгебраїчних чисел.

2.2 Визначення алгебраїчного числа.

Існують різні ознаки, за якими їх загального безлічі Z виділяю ті чи інші підмножини, що піддаються спеціальному вивченню. З точки зору важливого для алгебри поняття алгебраїчного рівняння, природним представляється виділення класів чисел, що є країнами алгебраїчних рівнянь, коефіцієнти яких належать тому чи іншому класу чисел.

Визначення 3: Число Z називається алгебраїчним, якщо воно є коренем якогось алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами: anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0

(a0, a1, ..., an (Z; an (0), тобто виконується: anzn + an-1zn-1 + ... + a1z + a0 = 0

Числа не є алгебраїчними називаються трансцендентними.

У визначенні алгебраїчного числа можна допустити, щоб коефіцієнти a0, a1, ..., an-1, an були будь-якими раціональними числами, оскільки, помноживши ліву і праву частини рівняння на ціле число, що є загальним кратним знаменником всіх коефіцієнтів, ми отримали рівняння з цілими коефіцієнтами, коренем якого буде наше число.

До алгебраїчним числам належать, зокрема, і всі раціональні числа. Дійсно, раціональне число z = (p, q (N) очевидно є коренем рівняння: qx-p = 0.

Також всяке значення кореня будь-якого ступеня з раціонального числа є алгебраїчним числом. Дійсно, число z = (p, q (N) є коренем рівняння: qxn-p = 0.

Існують і інші алгебраїчні числа, ніж зазначена вище.
Приклад:

1) Число z = є алгебраїчним. Дійсно, зводячи в квадрат обидві частини рівності, визначального число z, одержимо: z2 = 2 +2 +3. Звідси z2-5 =. Зводячи в квадрат обидві частини цієї рівності, одержимо: z4-10z2 +25 = 24. Звідси випливає, що число z є коренем наступного рівняння: x4-10x2 +1 = 0

2) Будь-яке число z = a + bi, у якого компоненти a і b - раціональні числа, є алгебраїчними. Доведемо це.

, (P, q, (N).

З рівності, отримуємо:. Звідси, зводячи в квадрат, одержимо:. Отже, я є коренем рівняння:

всі коефіцієнти якого цілі числа.

Надалі ми будемо розглядати тільки дійсні числа алгебри, не обумовлюючи цього кожен раз.

З f (x) = 0 слід f (z) ((x) = 0, де в якості ((x) можна взяти будь многочлен з цілими коефіцієнтами. Таким чином для будь-якого алгебраїчного числа z, із усіх цих багаточленів зазвичай розглядають багаточлен найменшій мірі .

Визначення 4: Число n називається ступенем алгебраїчного числа z, якщо z є корінь деякого багаточлена n-ой ступеня з раціональними коефіцієнтами і не існує тотожне не дорівнює нулю багаточлена з раціональними коефіцієнтами ступеня, меншою ніж n , коренем якого є z.
Якщо корінь многочлена n-го ступеня з цілими раціональними коефіцієнтами z не є коренем жодного тотожний нерівного нулю багаточлена з цілими коефіцієнтами ступеня меншою ніж n, то z не може бути коренем і тотожний нерівного нулю багаточлена з раціональними коефіцієнтами ступеня меншою ніж n, тобто z - алгебраїчне число ступеня n.

Раціональні числа є алгебраїчними числами першого ступеня.
Будь квадратическая ірраціональність є алгебраїчне число 2-го ступеня, так як, будучи коренем квадратичного рівняння з цілими коефіцієнтами, вона не є коренем будь-якого рівняння 1-го ступеня з цілими коефіцієнтами. Алгебраїчні числа 3-го ступеня часто називають кубічними ірраціональних, а 4-го ступеня біквадратіческімі ірраціонального.

Приклад:

1) - алгебраїчне число 3-го ступеня, тобто кубічна ірраціональність. Дійсно, це число є корінь многочлена

3-й ступеня з цілими коефіцієнтами x3-2 = 0 і не є коренем будь-якого багаточлена 1-й або 2-го ступеня з цілими коефіцієнтами.

Визначення 5: Якщо алгебраїчне число n-го ступеня z є коренем многочлена f (x) = xn + b1xn-1 + ... + bn (n (1) (1) з раціональними коефіцієнтами, то f (x) називається мінімальним многочленом для z.

Таким чином, мінімальним многочленом для z називається багаточлен найменшій мірі з раціональними коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом, що дорівнює одиниці, коренем якого є z.

Якщо замість многочлена (1) взяти небудь інший многочлен з раціональними коефіцієнтами ступеня n, коренем якого є z, то многочлен (1) може бути отриманий з нього розподілом всіх коефіцієнтів на старший член.

Приклад:

1) Мінімальним многочленом для є x3-2, так як корінь цього многочлена не є коренем будь-якого багаточлена ступеня з раціональними коефіцієнтами.

Теорема 1: Якщо f (x) мінімальний багаточлен алгебраїчного числа z і f (x) багаточлен з раціональними коефіцієнтами, такий, що F (z) = 0, то f (x) дільник F ( x), тобто F (x) = f (x) g (x), де g (x) також многочлен з раціональними коефіцієнтами.

Доказ: Відповідно до відомої теоремі алгебри F (x) можна представити у вигляді:

F (x) = f (x) g (x) + r (x ) де g (x) і до (ч) - многочлени з раціональними коефіцієнтами, причому ступінь r (x) менше ступеня f (x). Оскільки F (x) = 0 і f (z) = 0, то надаючи x значення z, отримуємо r (z) = 0; z - корінь многочлена r (x)

Сторінки: 1 2 3
загрузка...
ur.co.ua

енциклопедія  з сиру  аджапсандалі  ананаси  узвар