загрузка...

трусы женские
загрузка...
Реферати » Реферати з математики » Сімметpія щодо окpужності

Сімметpія щодо окpужності

С.А. Ануфрієнка

Сімметpія, як би шиpоко або вузько ми ні розуміли це слово, є ідея, за допомогою котоpой людина протягом століть намагався пояснити і створити поpядок, кpасоту і совеpшенство.

Геpман Вейль

Введення

З часом помічаєш, як несхожі один на одного шляху, провідні до вирішення красивих геометричних проблем. Нескінченність можливих напрямків пошуку багатьох людей приводить в трепет, але одночасно дає хорошу надію відшукати свою власну дорогу в геометричному лабіринті. У кожному разі відкриття методу, що дозволяє вирішити цілий ряд складних завдань, є подією великої рідкості. Про один з таких методів і піде мова в цій статті. Ми починаємо з перерахування деяких класичних проблем, вирішення яких будуть приведені пізніше.

A. Чотири кола w1, w2, w3 і w4 розташовані таким чином, що wi стосується wi +1 для i <4, а w4 стосується w1. Утворюються чотири точки дотику. Довести, що знайдеться коло, що проходить через всі ці точки.

B. Розділити за допомогою циркуля даний відрізок [AB] на n рівних частин (n I N).

C. Тільки за допомогою циркуля знайти центр даної окружності.

D. Дано точки A, B, C, D і окружність w. Тільки за допомогою циркуля знайти перетин прямих (AB) і (CD), а також точки перетину прямої (AB) з окружністю w (задачі геометрії Мора-Маськероні).

E. Побудувати коло, що проходить через дві дані точки A і B і стосується даної кола w1.

F. Побудувати коло, що проходить через дану точку і що стосується двох даних кіл.

G. Побудувати коло, що стосується трьох даних кіл (задача Аполлонія).

H. Для двох різних точок A і B і позитивного числа k знайти геометричне місце точок X, для яких відношення | XA | / | XB | одно k ? 1 (окружність Аполлонія).

I. Для довільного трикутника через r, R і d позначимо відповідно радіуси вписаного та описаного кіл і відстань між їх центрами. Довести, що d2 = R2-2Rr (формула Ейлера).

Інверсія і її властивості

У 1831 році Л. Дж Магнус вперше став розглядати перетворення площини, яке отримало назву симетрії щодо кола або інверсії (від лат. Inversio - звернення ). Під інверсією площині a щодо кола w (O, R) з центром у точці O і радіусом R розуміють таке перетворення безлічі a {O}, при якому кожній точці A I a {O} ставиться у відповідність така точка A ?, що A ? лежить на промені [OA) і | OA | · | OA ? | = R2 (далі будемо використовувати позначення invOR (A) = A ?). Зауважимо відразу, що інверсія не визначена в точці O, але іноді буває корисно додати до площини одну нескінченно віддалену точку, тобто розглянути безліч aE {?} і при цьому вважати, що invOR (O) = ? і invOR (?) = O.

На рис. 1 зазначений спосіб побудови образу точки A при інверсії щодо кола w = w (O, R). Для цього проводять перпендикуляр (AB) до прямого (OA) і з точки перетину wC (AB) проводять дотичну до кола w. З подоби трикутників DOAB і DOBA ? отримуємо відношення | OA | / | OB | = | OB | / | OA ? | або

| OA | · | OA ? | = | OB | 2 = R2 . Отже invOR (A) = A ?.

Симметpия относительно окpужности

Рис. 1

На рис. 2 побудова образу виконано тільки за допомогою циркуля (у припущенні, що | OA |> R / 2). Для цього достатньо провести коло

w (A, | OA |) і для двох точок перетину w (O, R) Cw (A, | OA |) побудувати рівні окружності w (B, R) і w (C, R). Друга точка перетину w (B, R) Cw (C, R), відмінна від точки O, є шуканої. Для доказу використовуємо подобу рівнобедрених трикутників DOBA ? і DOBA. Спочатку отримуємо | OA ? | / | OB | = | OB | / | OA |, а потім, необхідне | OA | · | OA ? | = | OB | 2 = R2. Якщо ж | OA | ? R / 2, то спочатку збільшують відрізок [OA] в n раз до відрізка [OB] (подвоєння відрізка показано на рис. 3 - послідовно відкладають радіус | OA | на колі w (A, | OA |) і використовують властивість правильного вписаного шестикутника), після цього знаходять B ? = invOR (B) і знову збільшують (а не зменшують!) відрізок [OB ?] в n раз до відрізка [OC]. Можна довести, що C = invOR (A).

Симметpия относительно окpужности

Рис. 2 Рис. 3

З численних властивостей інверсії розглянемо лише наступні. Нехай

A ? = invOR (A) і B ? = invOR (B).

I. Якщо A ? B, то A ? ? B ?.

Затвердження вимагає перевірки тільки коли промені [OA) і [OB) збігаються. У цьому випадку | OA | ? | OB | і тому | OA ? | ? | OB ? |. Приходимо до нерівності A ? ? B ?.

II. Всі точки кола w (O, R) при інверсії invOR залишаються нерухомими. Внутрішні точки кола з кордоном w (O, R) переходять у зовнішні, а зовнішні - у внутрішні.

Перша частина твердження очевидна, а друга випливає з зауваження: якщо

| OA | R.

III. Якщо A ? = invOR (A), то A = invOR (A ?). Для довільних фігур F і F ? з умови F ? = invOR (F) також слід F ??= invOR (F ?).

IV. Трикутники DAOB і DA ? OB ? подібні. При цьому ?OBA = ?OA ? B ?.

Досить зауважити, що ці трикутники мають загальний кут, а з рівності | OA | · | OA ? | = R2 = | OB | · | OB ? | треба рівність відносин | OA | / | OB ? | = | OB | / | OA ? |. Зверніть увагу, що на відміну від подібності, пропорційність пов'язує сторони [OA] і [OB ?], [OB] і [OA ?], а не [OA] і [OA ?], [OB] і [OB ?]. З подоби отримуємо ?OBA = ?OA ? B ?.

V.

| A ? B ? | = | AB |

| OA | · | OB | · R2.

Дійсно, по властивості IV маємо

| A ? B ? | = | AB | · | OA ? |

| OB | = | AB |

| OA | · | OB | · R2.

VI. Пряма a, що проходить через центр інверсії, відображається в себе. Якщо ж O I a і A - підстава перпендикуляра з точки O на пряму a (рис. 4), то чином прямий a буде коло w1, побудована на відрізку [OA ?] як на діаметрі (A ? = invOR (A)).

Симметpия относительно окpужности

Рис. 4

Для доказу цієї властивості розглянемо довільну точку B прямий a. По властивості IV ?OB ? A ? = ?OAB = 90 °. Отже точка B ? лежить на колі з діаметром [OA ?]. Подив від такого несподіваного дії інверсії на довільну пряму пройде, якщо взяти до уваги нескінченно віддалену точку. Кожна пряма проходить через ?. Тому перехід ? в точку O змушує кінці прямої стискатися до точки O. Наступне властивість дозволяє визначити центр кола, яка є образом прямої з властивості VI.

VII. Нехай w1 = invOR (a). Позначимо через O1 = Sa (O), де Sa - осьова симетрія з віссю a (рис. 4). Тоді центром кола w1 є точка O1 ? = invOR (O1).

Зберігаючи прийняті в попередньому властивості позначення, маємо | OO1 | = 2 | OA |. Підставляючи це в рівність | OA | · | OA ? | = R2 = | OO1 | · | OO1 ? | отримуємо | OO1 ? | = | OA ? | / 2. Тому точка O1 ? є серединою відрізка [OA ?].

VIII. Окружність w1 (O1, r), що проходить через центр інверсії, відображається на деяку пряму a. Більш того, якщо A - кінець діаметра, що проходить через O і O1 (A ? O), то пряма a проходить через точку A ? = invOR (A) і перпендикулярна прямій (OO1).

Справедливість цього властивості відразу випливає з властивостей III і VI.

IX. Окружність w1 (O1, r1), що не проходить через центр інверсії, відображається при invOR на деяку окружність w2 (O2, r2). Точніше, якщо точки A і B є кінцями діаметра, лежачого на прямий (OO1) (рис. 5), то відрізок [A ? B ?] є діаметром кола w2 (A ? = invOR (A), B ? = invOR (B )).

Симметpия относительно окpужности

Рис. 5

Для доказу розглянемо довільну точку C окружності w1 і покажемо, що C ? = invOR (C) I w2. З властивості IV маємо рівності ?OCA = ?OA ? C ? і ?OCB = ?OB ? C ?. Тому ?A ? C ? B ? = ?OB ? C ? - ?OA ? C ? = ?OCB-?OCA = 90 °. Отже C ? I w2.

Чи переходить центр O1 в центр образу w2, точку O2? Ніколи (переконаєтеся в цьому за допомогою прямих обчислень, тобто доведіть, що O1 ? = invOR (O1) не може бути серединою [A ? B ?]). Цей "недолік" інверсії з лишком компенсується чудовим її властивістю зберігати величину кута. Нагадаємо, що кут між пересічними колами за визначенням дорівнює куту між дотичними до цих окружностям в точці їх перетину. Аналогічно визначається і кут між пересічними прямий і окружністю. Розглянемо окремий випадок: для двох стосуються кіл w1 і w2 визначимо величину кута між invOR (w1) і invOR (w2). Вид образів invOR (w1) і invOR (w2) багато в чому залежить від положення точки O стосовно кіл w1 і w2. Так, якщо O I w1Ew2, то з властивостей I і IX отримуємо, що invOR (w1) і invOR (w2) є стосуються колами. Якщо ж O лежить тільки на одній з околиць, наприклад на w1, то з властивостей I, VIII і IX отримаємо стосуються пряму invOR (w1) і окружність invOR (w2). І, нарешті, якщо O збігається з точкою дотику кіл, то invOR (w1) і invOR (w2) є паралельними прямими (величина кута між паралельними прямими по визначенню дорівнює нулю). Отже, в кожному з випадків, величина

Сторінки: 1 2 3 4
загрузка...
ur.co.ua

енциклопедія  з сиру  аджапсандалі  ананаси  узвар