загрузка...

трусы женские
загрузка...
Реферати » Реферати з математики » Ланцюжок Галілея

Ланцюжок Галілея

В Книзі Галілея «Бесіди и математичні докази ...» , надрукованій Вперше італійською мовою в Голландський городе Лейдені в 1638р., пропонувався, между іншім, такий способ ПОБУДОВИ параболи: «Вобьём в стіну два Цвяха на однаковій вісоті над горизонтом и на такій відстані один від одного, щоб воно дорівнювало подвійній шіріні прямокутник, на якому бажано побудуваті полупараболу; между одним и іншім Цвях підвісімо тонку ланцюжок, яка свешивалась б вниз и булу Такої довжина, щоб найніжча точка ее знаходится від рівня Цвяха на відстані, что дорівнює вісоті прямокутник (рис. 1). Ланцюжок ця, звісаючі, розташується у вігляді параболи, так что, відзначівші ее слід на стіні пунктиром, мі отрімаємо параболу, розсікає навпіл перпендикуляром, проведеним через середину Лінії, что з'єднує Обидва Цвяха » .

Способ цею простой и наочно, альо не точна. Це розумів и сам Галілей. Насправді, если параболу побудуваті за всіма правилами, то между нею и ланцюжком виявляв зазори. Смороду видно на тому ж рис. 1, де відповідна парабола позначені суцільною лінією.

Ланцюговим лінія.

Тільки через півстоліття после виходе книги Галілея старший з двох братів-математіків Бернуллі - Якоб нашел чисто теоретичністю путем точну формулу провісаючої ланцюжка. Чи не поспішаючі повідомляті свое решение задачі, ВІН кинувши виклик іншім математикам. Правильне решение опублікувалі Вже в Наступний 1691г. Християн Гюйгенс, Готфрід Вільгельм Лейбніц и младший брат Якоба - Йоганн Бернуллі. Всі смороду корістуваліся для Вирішення Завдання, по-перше, законами механіки, а по-одному, могутнімі Засоба недавно розроблення тоді математичного аналізу - похідної та інтегралом.

Гюйгенс назвавши криву, по якій розташовується ланцюжок, підвішена за два кінця, ланцюгової лінією .

Так як ланцюжка бувають різної довжина, та й кінці їх могут підвішуватіся на різніх відстанях один від одного - то Ближче, то далі, то и ланцюгових ліній існує не одна, а Багато. Альо всі смороду подібні между собою, як, Наприклад, подібні между собою будь-які окружності.

Графік Показове Функції.

Обнаружили, что розгадка секрету ланцюгової Лінії лежить в Показове Функції. У XVIII столітті вона булу ще новинкою, а тепер ее винен знаті КОЖЕН восьмікласнік. Це функція увазі y = ax , де a - якесь позитивне число, що не рівне 1. Обчислення показали, что для ПОБУДОВИ ланцюгової Лінії найзручніше Прийняти a рівнім так званому неперово числу , позначається буквою e . Воно отримай свое имя на честь шотландського математика Джона Непера - одного з вінахідніків логаріфмів. Число Це почти настількі ж знаменито, як и число p ; его набліжене значення, а так взятого з точністю до 0,0005: e » 2,718.

На рис. 2 суцільною лінією зображено графік Показове Функції y = ex , а пунктиром - графік Інший показової Функції, тісно пов'язаної з попередня.

ЯКЩО скористати негативними Показники ступенів, то залишимося функцію можна представіті у вігляді y = ex . Тепер ясно, что Обидва графіка сіметрічні одна одній Щодо осі ординат, что и віявляє малюнок.


Утворюємо тепер Дві та новий Порядок Функції, беручи для шкірного x або полусумму значень наших Показове функцій - отрімаємо y = 1/2 (y = ex + ex) , або їх полуразность: y = 1/2 (y = ex-ex) . Графікі ціх НОВИХ функцій наведено на рис. 3 и рис. 4. Віявляється, что перший з них Це и є одна з ланцюгових ліній. З нього путем простих перетвореності, про Які піде мова нижчих, можна отріматі будь-яку ланцюгову лінію, симетрично відносно осі ординат. Що стосується графіка, представленого на рис. 4, то ВІН буде нами використанн як допоміжній засіб при переході від ланцюгової Лінії рис. 3 до більш загально нагоді ланцюгової Лінії.

Підбір довжина ланцюжка.

Розглянемо докладніше зв'язок между кривою, збережений на рис. 3, и формою вісить ланцюжка. Уявімо Собі, что ця крива вікреслена на строго вертікальної и абсолютно гладкою стіні І що нам дозволено забивати цвяхи в Різні точки крівої. Заб'ємо їх, як радів Галілей, в точках A и B на одній горізонталі (втім, ціну Умова несуттєво). Підберемо тепер тонкий ланцюжок, довжина Якої точно дорівнює 2 l - довжіні дуги AB - и кінці ее закріпімо в A и B . Тоді ланцюжок провіснет строго по дузі, якові мі заздалегідь віяскравілі. Ніякіх зазорів между нею и цією кривою НЕ дае.

Підбір ланцюжка потрібної довжина можна делать путем проб. Взяти ланцюжок достовірніше - з запасом, а потім підвішуваті ее за Різні ланки в точках A и B , у міру спожи збільшуючі або зменшуючі Довжину провісаючої частин, доки відбудеться збігі (рис. 5). Альо можна сделать ї інакше: знаючи d (половину відстані между Цвях), знайте путем обчислення l (половину довжина дуги AB ) i тоді Вже брати ланцюжок, довжина Якої точно дорівнює 2 l . Такий Підрахунок вдається помощью інтеграла. Вкажемо тут результат: l = 1/2 ( ed - e - d ) . Звідсі віпліває, что если взяти на графіку Функції y = 1/2 ( ex - e - x ) (рис. 4) x = d , то відповідна ордината у точки E цього графіка буде дорівнює l .

Так як l = 1/2 ( ed - e - d ) < r = 1/2 ( ed - e - d ) (см. рис. 5), то виходе цікаве ВИСНОВОК: довжина дуги CB ланцюгової Лінії, представленої на рис. 5 (половина довжина Всього ланцюжка) Коротше, чем ордината точки підвісу. З Іншого боці, маємо: l > d , тобто ця довжина больше, чем абсцис точки підвісу.

А если довжина не та?

Як відшукаті рівняння Лінії в разі , коли для даних точок підвісу A и B довжина ланцюжка не співпадає з довжина 2 l ` дуги 2 l AB , Належить крівій = 1/2 ( y ex ? В пошуках Реєстру мі будемо спіратіся на відзначеній вищє факт, что всі ланцюгові Лінії подібні между собою. - e - x ) Нехай, Наприклад,

`> l . Тоді ланцюжок провіснет за Деяк дузі l AC , розташованої под дугою ` B ACB (рис . 5). Мі покажемо, что потрібне рівняння ланцюгової Лінії, якій Належить дуга AC , можна знайте в три Прийоми. Спочатку перейти від крівої (1): ` B = 1/2 ( y ex до деякої крівої (2): - e - x ) = 1/2 ( y ex ; ця крива виходе з (1) с помощью Перетворення подібності з центром в точці / k - e - x / k ) и коефіцієнтом подібності O > 0) k ( k . Потім перейти від крівої (2) до крівої (3): / 2 y = b + k ex ( помощью Зсув попередня в Напрямки осі ординат (перелогових від знака / k - e - x / k ) вгору або вниз). b Вся хітрість Полягає в тому, щоб візначіті коефіцієнт подібності

. З цією метою відзначімо в площіні допоміжної крівої, зображеної на рис. 4, точку k з координатами F . В силу того, что x = d и y = l ` `> l , вона НЕ попал на криву, а обнаружили вищє неї. l Продовжімо

OF до Перетин з кривою в деякій точці (можна довести , что точка Перетин знайдеться, крім точки G , и притому Тільки одна). Покладемо O OF OG / (в нашому випадка 0 < <1 k ); тоді координатами точки будут числа G `/ x = d / k , y = l . Тому смороду будут пов'язані рівнянням крівої: k `/ l = 1/2 ( k ed . Звідсі віпліває, что если на крівій (1) (рис. 3) взяті точки / k - e - d / k ) с абсциссами A ` и B ` , то довжина дуги - d / k и d / k , їх з'єднує, дорівнюватіме A ` B ` `/ 2 l Все ланцюгові Лінії подібні. k .

Найденное число


вікорістовуємо як коефіцієнт подібності в перетворенні крівої (1); в якості центру подоби візьмемо качан координат k . Тоді Кожній точці O крівої (1) відповідатіме точка P ( x , y ) kx Q ( ky , перетвореної крівої (2) (рис. 6). ЯКЩО ввести позначення: ) kx X = ky , Y = , то . Останні числа повінні задовольняті рівнянню (1), так як точка x = X / k , y = Y / k лежить на ній. Отрімуємо: P ( x , y ) = 1/2 ( Y / k eX . Це и є рівняння крівої (2), отріманої в результаті Перетворення. Великі літері для позначення координат можна тут замініті маленькими, пам'ятаючи, что теперь Це координат та будь-Якої точки крівої (2). / k - e - X / k ) Зауважімо, что точкам

крівої (1) з абсциссами A ` и B ` відповідатімуть точки - d / k и d / k `` A `` и B крівої (2) з абсциссами (рис. 7). В силу подібності дуг - d и d `` A ` B ` и A `` B довжина `` A `` B дорівнюватіме , т. е. дорівнює заданій довжіні ланцюжка. В цьом и Полягає перевага крівої (2) перед віхідної крівої (1). Недолік ее, однак, у тому, что крива (1) проходила через задані точки підвісу 2 l ` , а крива (2) может через них и НЕ проходити. Альо цею недолік легко усунуті. Если ордината точки A и B `` B (або `` A ): / 2 ( k ed не дорівнює , т. е. / k + e - d / k ) `` не співпадає з r , то покладемо B / 2 ( ed B ) = r - k Внаслідок Зсув крівої (2) в Напрямки осі ординат на величину вона перейшовши в кривих (3): / k + e - d / k y = b + k / 2 (ed / k + ed / k) b .

. Остання крива, по-перше, подібна крівої (1) i, отже , є сама ланцюгової лінією. По-одному, вона проходити через задані точки підвісу: b (-. І, по-Третє, довжина дуги AB A дорівнює довжіні даної ланцюжка d , r ) и B ( d , r ) . Ці умови и забезпечують, Як це Було доведено Бернуллі, Гюйгенсом и Лейбніцем, что ланцюжок провіснет як Сторінки: дорівнює довжині даної ланцюжка 2 l ` . Ці умови і забезпечують, як це було доведено Бернуллі, Гюйгенсом і Лейбніцем, що ланцюжок провіснет як

Сторінки: 1 2
загрузка...
ur.co.ua

енциклопедія  з сиру  аджапсандалі  ананаси  узвар