загрузка...

трусы женские
загрузка...
Реферати » Реферати по математиці » Ерлангенськая програма: колись і тепер

Ерлангенськая програма: колись і тепер

Ерлангенськая програма: колись і тепер

Переворот в геометричній науці, вироблений Феліксом Кляйном наприкінці 19 століття, часто і справедливо порівнюють з реформою Евкліда в античній геометрії. До Евкліда був хаос (тобто, "газ") з розрізнених об'єктів і фактів древньої науки. Після нього виник "кристал" з тих же атомів (теорем, аксіом і визначень), об'єднаних новими логічними зв'язками. Аналогічно, до Кляйна була розсип несхожих один на одного кристалів, синтезованих в різний час Евклидом, Гауссом, Лобачевским або Ріманом. Після Кляйна ця розсип перетворилася на впорядковану колекцію, де кожен експонат заданий своєю групою допустимих перетворень цікавлять нас фігур.

20 век колосально розширив цю колекцію, ввівши в арсенал математиків нескінченне сімейство нових груп і відповідних їм геометрій. Щоб не потонути в новому хаосі "" газі "з груп і однорідних просторів, математикам довелося впорядкувати різні способи порівняння груп між собою. Так в 1900-і роки в працях Ісайя Шура виникла теорія уявлень груп; незабаром вона стала найважливішою опорою теоретичної фізики і нових геометрій (безконечномірних, або неархімедовой), які Кляйн не міг уявити в 1872 році.

Подвійний досвід Евкліда і Кляйна в перебудові і спрощення високорозвиненою науки заслуговує розгляду з позицій оновленої фізики. Якщо в обох випадках ми маємо справу з фазовим переходом в структурі наукової теорії, то яка енергетика цього переходу "Чи можна описати його на мові Кляйна-Шура, зіставивши кожної геометричній теорії якусь групу допустимих перетворень якихось фундаментальних об'єктів" Ці проблеми ми маємо намір обговорити.

Згадаємо, що система Евкліда охоплювала далеко не всі факти і об'єкти грецької геометрії 4 століття до н.е. Конічні перетини (еліпс, парабола, гіпербола) не згадані в "Засадах" жодним словом. Звичайно, Евклід був незадоволений таким станом справ. Відомо, що він написав трактат про конічних перетинах "але не зумів уніфікувати його з логічної структурою" Почав ", тому трактат не зберігся. Незабаром Аполлоній повторив (або перевершив) цю працю Евкліда; але його книгу про конічних перетинах також не вдалося стикувати з" началами ".

Уніфікація цього розмаїття почалася лише в Новий час - в працях Декарта, на базі італійської алгебри 16 століття і нової системи числових координат на площині. Цей підхід поєднав дві, здавалося б, незалежні гілки математики : геометрію фігур і арифметику чисел. Зрозуміло, що такий синтез викликав захват багатьох поколінь молоді: від Ньютона до Галуа, який сформувався як математик під впливом підручників Лежандра з аналітичної геометрії і теорії алгебри чисел.

Отже, між реформою Евкліда і реформою Кляйна геометрія пережила ще один фазовий перехід: "координатну революцію" Декарта. У сфері досліджень ця революція відбулася за одне покоління "між появою книги Декарта (1637) і ньютоновским відкриттям обчислення флюксій і флюент (1667). Навпроти "в навчальний процес ідеї Декарта проникали довго і болісно. Не випадково Ньютон виклав свої відкриття в" Математичних Принципах Натурфілософії "(1687) на складному, але звичному геометричному мовою" замість нової і простий, але не обгрунтованою алгебри статечних рядів, яка вела думка Ньютона від одного відкриття до іншого. Лише сто років по тому, коли нові обчислювальні методи зробилися основним апаратом математики і механіки, Адрієн Лежандр використав цю систему в викладанні геометрії майбутнім вчителям і інженерам в Нормальною і Політехнічної школах, породжених Французькою революцією.

Після цього (на початку 19 століття) класична геометрія виявилася розщеплена на дві половини: "евклидову" і "декартову", які повільно розвивалися, майже нічим не допомагаючи один одному. Це особливо помітно у творчості Карла Гаусса. В юності, йдучи шляхом Декарта, він досяг чудового успіху: довів нездійсненність багатьох побудов циркулем і лінійкою. Двадцять років по тому (в 1818 році) Гаусс вирішив випробувати шлях Евкліда: наскільки далеко може завести "тонка хірургія" прийнятої системи аксіом геометрії "При цьому зрілий Гаусс наче забув ті алгебраїчні методи, які він успішно застосовував в юності. В результаті тривалих інтуїтивних і логічних пошуків, не вводячи в геометрію або логіку нових понять, Гаусс зумів лише вгадати нову велику істину: неповноту будь багатою системи аксіом і правил виводу, неминучість розгалуження кожної формальної теорії по черговому постулату, який не вдається ні спростувати, ні довести. Мабуть, ця перспектива потрясла Гаусса "і він волів промовчати про свої здогади, щоб не вносити розпуста в уми наукової молоді, не робити математику посміховиськом для оточуючих невігласів.

Вихід з цієї кризи геометрії був можливий лише за допомогою алгебри "і Фелікс Кляйн знайшов цей вихід, як тільки нова алгебра (теорія груп) досягла необхідної понятійної зрілості в працях Камілла Жордана. Згадаймо, що створювати теорію груп перестановок S (n) почав Огюстен Коші в 1810-і роки. Незабаром юний Еварист Галуа з блиском застосував алгебраїчні властивості груп S (n), довівши нерозв'язність рівнянь-багаточленів ступеня n> 4 в радикалах. Але рання смерть Галуа не дозволила йому ( на відміну від Ньютона або Гаусса) викласти свої відкриття на общепонятном мовою. Ця праця була завершел Жорданом лише до 1870 року, коли Кляйну виповнилося 20 років і він прибув до Парижа.

Слухаючи лекції Жордана, юний Кляйн випробував таке ж потрясіння, які перш відвідували Евкліда і Ньютона, Гаусса та Галуа. Групи перестановок кінцевих множин виявилися могутнім робочим засобом для геометрії та алгебри. Можна очікувати того ж від груп взаємно-однозначних перетворень геометричних фігур! Ці групи різні в трьох відомих геометріях: Евкліда, Лобачевського і Рімана. Ймовірно, вони розрізняють будь-які можливі геометричні світи! Так народилася в 1872 році Ерлангенськая програма 23-річного професора Кляйна "перший маніфест нової синтетичної математики, чи не розщепленої на алгебру і геометрію. Незабаром Георг Кантор оголосив другий маніфест оновленої математики: загальну теорію множин, яка швидко переросла в топологію метричних просторів і остаточно зростила літочислення функцій з обчисленням фігур або чисел. Кляйн гаряче вітав цю новинку, пропонуючи вважати функцію (і її символ "графік) настільки ж універсальним" ієрогліфом "математичної науки, якими здавна служили числа і фігури.

Дуже важливо, що (подібно Ньютону і Гауссу, але на відміну від Евкліда або Галуа) Кляйн змолоду отримав гарну освіту в галузі теоретичної фізики, вважав її сестрою і союзницею "чистої" математики. Висуваючи Ерлангенського програму, Кляйн не міг не замислитися про ту групу перетворень евклідова простори, яка відповідає ньютоновой механіці масивних точок і твердих тіл. Тим більше, що в ці ж 1870-ті роки Джемс Максвелл створив теорію електромагнітного поля (другу главу єдиної математичної фізики), а Джозайя Гіббс поширив математичну термодинаміку в область хімічних реакцій.

Успіхи Максвелла переконали Кляйна, що Ерлангенськая програма неминуче включить геометричні дослідження нових фізичних світів "з використанням тієї ж теорії груп. Але науковий талант Кляйна явно поступався таланту Ньютона або Гаусса. Розуміючи це, Кляйн не намагався стати законодавцем мод в народжуваної геометричній фізиці, надавши цю честь друзям і учням "передусім Максу НTтеру, який в 1918 році встановив взаємно-однозначна відповідність між геометричними і фізичними світами. НTтер довів, що всякий закон збереження в фізиці відповідає симетрії фізичного середовища щодо деякої групи її перетворень "однією з можливих груп Лі. Так теорія груп об'єднала, нарешті, математичну фізику з геометрією і алгеброю; головна мрія Кляйна виповнилася. Незадовго до цього правоту Кляйна визнали головний математик і головний фізик нового століття: Давид Гільберт захопився математичною фізикою, Альберт Ейнштейн висловив суть загальної теорії відносності на мові диференціальної геометрії.

Для нас, професіоналів, все це "події далекого минулого, давно поняті і по достоїнству оцінені світовою науковою громадськістю. Але для абсолютної більшості школярів (навіть в математичному класі) це "Terra Incognita, про відкриття якої не прочитаєш ні в одному підручнику математики, фізики чи історії. Чи впізнають російські юнаки 21 століття про надії і побоюваннях, успіхи і помилках наукових Колумбов і Магелланова 17-20 століть "це залежить тільки від рішучості і ерудиції того вчителя, з яким їх зіштовхнула доля. Не важливо, яка вузька спеціальність такого вчителя. Автору цих рядків доводилося успішно викладати драму ідей, зав'язану Евклидом і розв'язану Кляйном, в рамках різних навчальних курсів, перед різними аудиторіями "від математиків до гуманітаріїв.

Висновок простий: зрозуміти суть справи здатні все допитливі підлітки, хоча кожна їх категорія говорить своєю діалекті і задає питання особливого роду. Сучасних підлітків об'єднує ще одна риса: справедливо вважаючи початок 20 століття "древньою історією", вони вимагають від учителя пов'язати вищі досягнення Ейнштейна, Гільберта або ГTделя з наукою і побутом наших днів. Кляйн передбачав таку ситуацію в 1910-і роки, коли він боровся за чергову реформу математичного та загальнонаукового освіти в "класичних" (тобто, застиглих на рівні Евкліда або Лежандра) німецьких гімназіях. На жаль "навіть кращі гімназії та ліцеї сучасної Росії подібним чином застигли на рівні Резерфорда і Бора, Менделя і Моргана, Ключевського і Моммзена, і нарешті "самого Кляйна, який не схвалював перетворення Ерлангенском програми в вічну ікону.

Якщо виявилося, що світом чисел

Сторінки: 1 2
загрузка...
ur.co.ua

енциклопедія  з сиру  аджапсандалі  ананаси  узвар