загрузка...

трусы женские
загрузка...
Реферати » Реферати з математики » Ряди і інтеграл Фур'є

Ряди і інтеграл Фур'є

ГЛАВА 1

ЛАВ І ІНТЕГРАЛ ФУР'Е

 

Основні відомості

Функція f (x), визначена на всій числовій осі називається періодичною, якщо існує таке число, що при будь-якому значенні х виконується рівність. Число Т називається періодом функції.

Відзначимо деякі з в о й с т в а цієї функції:

1) Сума, різниця, твір і приватне періодичних функцій періоду Т є періодична функція періоду Т.

2) Якщо функція f (x) період Т, то функція f (ax) має період.

3) Якщо f (x) - періодична функція періоду Т, то рівні будь-які два інтеграла від цієї функції, узяті по проміжкам довжини Т (при цьому інтеграл існує), тобто за будь-яких a і b справедливо рівність.

 

Тригонометричний ряд. Ряд Фур'є

Якщо f (x) розкладається на відрізку в рівномірно збіжний тригонометричний ряд:

(1)

, то це розкладання єдине і коефіцієнти визначаються за формулами:

, де n = 1,2,. . .

Тригонометричний ряд (1) розглянутого виду з коефіцієнтами називається тригонометричним рядом Фур'є, а коефіцієнтами ряду Фур'є.

Достатні ознаки разложимости функції в ряд Фур'є

Точка розриву функції називають точкою розриву першого роду, якщо існує кінцеві межі праворуч і ліворуч цієї функції в даній точці.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Якщо періодична з періодом функція безперервна або має кінцеве число точок розриву 1-ого роду на відрізку [] і цей відрізок можна розбити на кінцеве число частин, в кожному з яких f (x) монотонна, то ряд Фур'є щодо функції сходиться до f (x ) в точках безперервності і до среднеарифметическому односторонніх меж у точках розриву роду (Функція задовольняє цим умовам називається кусочно-монотонної).

ТЕОРЕМА 2. Якщо f (x) періодична функція з періодом, яка на відрізку [] разом зі своєю похідною неперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду, то ряд Фур'є функції f (x) в точках розриву до середнього арифметичного однобічних меж (Функція задовольняє цій теоремі називається кусково-гладкою).

 

Ряди Фур'є для парних і непарних функцій

Нехай f (x) - парна функція з періодом 2L, що задовольняє умові f (-x) = f (x).

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

=

=

= 0, де n = 1,2,. . .

Таким чином, в ряді Фур'є для парної функції відсутні члени з синусами, і ряд Фур'є для парної функції з періодом 2L виглядає так:

Нехай тепер f (x) - непарна функція з періодом 2L, що задовольняє умові f (-x) = - f (x).

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

, де n = 1,2,. . .

Таким чином, в ряді Фур'є для непарної функції відсутній вільний член і члени з косинусами, і ряд Фур'є для непарної функції з періодом 2L виглядає так:

Якщо функція f (x) розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на проміжку то

, де ,

,

,

Якщо f (x) розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на [0, L], то Довизначивши задану функцію f (x) відповідним чином на [-L, 0]; далі періодично продовживши на (T = 2L), одержимо нову функцію, яку розкладаємо в тригонометричний ряд Фур'є.

Для розкладання в ряд Фур'є неперіодичної функції, заданої на кінцевому довільному проміжку [a, b], треба: доопределить на [b, a +2 L] і періодично продовжити, або доопределить на [b-2L , a] і періодично продовжити.

 

Ряд Фур'є по будь ортогональній системі функцій

Послідовність функцій неперервних на відрізку [a, b], називається ортогональною системою функції на відрізку [a, b], якщо все функції послідовності попарно ортогональні на цьому відрізку, тобто якщо

Система називається ортогональної і нормованої (ортонормованій) на відрізку [a, b],

якщо виконується умова

Нехай тепер f (x) - будь-яка функція безперервна на відрізку [a, b]. Поруч Фур'є такої функції f (x) на відрізку [a, b] по ортогональній системі називається ряд:

коефіцієнти якого визначаються рівністю:

n = 1,2, ...

Якщо ортогональна система функцій на відрізку [a, b] ортонормированного, то в цьому випадки

де n = 1,2, ...

Нехай тепер f (x) - будь-яка функція, безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [a, b]. Поруч Фур'є такої функції f (x) на томже відрізку

по ортогональній системі називається ряд:

,

Якщо ряд Фур'є функції f (x) за системою (1) сходиться до функції f (x) в кожній її точці безперервності, що належить відрізку [a, b]. У цьому випадку говорять що f (x) на відрізку [a, b] розкладається в ряд по ортогональній системі (1).

 

Комплексна форма ряду Фур'є

Вираз називається комплексною формою ряду Фур'є функції f (x), якщо визначається рівністю

, де

Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і назад здійснюється за допомогою формул:

(n = 1,2, ...)

 

Задача про коливання струни

Нехай у стані рівноваги натягнута струна довгої l з кінцями x = 0 і x = l. Припустимо, що струна виведена зі стану рівноваги і робить вільні коливання. Будемо розглядати малі коливання струни, що відбуваються у вертикальній площині.

При зроблених вище припущеннях можна показати, що функція u (x, t), яка характеризує положення струни в кожний момент часу t, задовольняє рівнянню

(1), де а - позитивне число.

Наша з а д а ч а - знайти функцію u (x, t), графік якої дає форму струни в будь-який момент часу t, тобто знайти рішення рівняння (1) при граничних:

(2)

і початкових умовах:

(3)

Спочатку будемо шукати рішення рівняння (1), що задовольняють граничним умовам (2). Неважко побачити, що u (x, t) 0 є рішенням рівняння (1), що задовольняють граничним умовам (2). Будемо шукати рішення, не рівні тотожно 0, представимо у вигляді добутку u (x, t) = X (x) T (t), (4), де,.

Підстановка виразу (4) в рівняння (1) дає:

З якого наша задача зводиться до відшукання рішень рівнянь:

Використовуючи це умова X (0) = 0, X (l) = 0, доведемо, що негативне число, розібравши всі випадки.

A) Нехай Тоді X "= 0 і його загальне рішення запишеться так:

звідки і, що неможливо, так як ми розглядаємо рішення, що не звертаються тотожно в нуль .

Б) Нехай. Тоді вирішивши рівняння

отримаємо, і, підпорядкувавши, знайдемо, що

в) Якщо те

Рівняння мають коріння:

отримаємо:

де-довільні постійні. З початкової умови знайдемо:

звідки, тобто

(n = 1,2, ...)

( n = 1,2, ...).

З огляду на це, можна записати:

(n = 1,2, ...).

І, отже

, (n = 1,2, ...),

але так як A і B різні для різних значень n то маємо

, (n = 1,2, ...),

де і довільні постійні, які спробуємо визначити таким чином, щоб ряд задовольняв рівнянню (1), граничним умовам (2) і початковим умовам (3).

Отже, подчиним функцію u (x, t) початковим умовам, тобто підберемо й так, щоб виконувалися умови

Ці рівності є відповідно розкладаннями функцій і на відрізки [0, l] в ряд Фур'є по синусах. (Це означає що коефіцієнти будуть обчислюватися як для непарної функцій). Таким чином, рішення про коливання струни із заданим граничними і початковими умовами дається формулою

де

(n = 1,2, ...)

 

Інтеграл Фур'є

 

Достатні умови представимости функції в інтеграл Фур'є.

Для того, щоб f (x) була представлена ??інтегралом Фур'є у всіх точках безперервності і правильних точках розриву, достатньо:

1) абсолютної интегрируемости на

(тобто інтеграл сходиться)

2) на будь-якому кінцевому відрізку [-L, L] функція була б кусочно-гладкою

3 ) в точках розриву функції, її інтеграл Фур'є визначається напівсумою лівого і правого меж у цих точках, а в точках безперервності до самої функції f (x)

Інтегралом Фур'є функції f (x) називається інтеграл виду:

, де,

.

Інтеграл Фур'є для парної й непарної функції

Нехай f (x)-парна функція, яка задовольняє умовам представимости інтегралом Фур'є.

Враховуючи, що, а також властивість інтегралів по симетричному відносно точки x = 0 інтервалу від парних функцій, з рівності (2) отримуємо:

(3)

Таким чином, інтеграл Фур'є парної функції f (x) запишеться так:

,

де a (u) визначається рівністю (3).

Міркуючи аналогічно, одержимо, для непарної функції f (x):

(4)

і, отже, інтеграл Фур'є непарної функції має вигляд:

,

де b (u) визначається рівністю (4).

 

Комплексна форма

Сторінки: 1 2
 
Подібні реферати:
Деякі глави мат. аналізу
Ряди і інтеграл Фур'є. Перетворення функції в ряд Фур'є.
Інтеграл Пуассона
(r (x) = [pic] n (f) r ((n (ei nx, x (((((((( (((, (2) де ряд у правій частині рівності (2) сходиться рівномірно по х для будь-якого фіксованого r, (((r (((. Коефіцієнти Фур'є функції (r (х (дорівнюють cn
Перетворення Фур'є
[pic] (1) називається перетворенням Фур'є функції ((x) і позначається F [(]. Ясно, що не для всякої функції ((x) інтеграл (1) сходиться , і тому не для всякої функції визначено перетворення Фур'є.
Інтеграл Пуассона
Визначення інтеграла Пуассона і ядра Пуассона, основні теореми.
Ряди Фур'є та їх програми
До вивчення таких рядів історично привели деякі завдання фізики, наприклад задача про коливання струни (XVIII в.), завдання про закономірності в явищах теплопровідності та ін У додатках розгляд Тригона
Вища математика
Основні теореми і визначення.
Вища математика
Основні теореми і визначення.
Аналіз Фур'є
Жозеф Фур'є дуже хотів описати в математичних термінах, як тепло проходить крізь тверді предмети. Можливо, його інтерес до тепла спалахнув, коли він перебував у Північній Африці.
Перетворення Фур'є
В основі перетворення Фур'є (ПФ) лежить надзвичайно проста, але виключно плідна ідея - майже будь-яку періодичну функцію можна представити сумою окремих гармонійних складових.
Квитки з математичного аналізу
1) Сформулюйте поняття повного диференціала функції двох змінних і поясніть його геометричний зміст. 2) Дослідіть на екстремум функцію [pic]. 3) Отримайте оцінку модуля певного інтеграла.
Вища математика, інтеграли (шпаргалка)
Пояснення: [pic] Нехай: [pic]. Тоді: [pic] Тобто функція [pic] не є рівномірно безупинної на безлічі [pic]. Теорема 28.3: Безперервна на відрізку функція - рівномірно неперервна на ньому. Класи і
Інтеграл по комплексної змінної
Визначення та основні властивості інтегральної змінної і її функції.
Чисельні методи аналізу та синтезу періодичних сигналів
2.Чісленние методи розрахунків спектральних і тимчасових характеристик періодичних сигналів 2.1 Чисельні методи розрахунків тимчасових характеристик 4 2.2.Чісленние методи розрахунків частотних характеристик 5
Контрольна робота
Припустимо, що функція така, що вона звертає в тотожний нуль вираз, що стоїть в круглих дужках рівняння (1) тобто, що вона є рішенням диференціального рівняння.
Атоміческіе розкладання функцій в просторі Харді
Метою цієї роботи є вивчення основних понять і результатів, отриманих в області просторів Харді, яка не вивчалась в рамках університетського курсу. У роботі простежено взаємозв'язок між слід
Лекції з математичного аналізу
Нехай [pic] і [pic] неперервна в т. х0, тоді справедливо: 1. Сума цих ф-ий неперервна в т. х0; [Pic] - неперервна в точці х0 2. Твір цих ф-ий безперервно в т. х0 [pic] - безперервна в т
Оператори в вейвлетного базисі
Компактні хвилі щодо незалежно були запропоновані у квантовій фізиці, фізиці електромагнітних явищ, математики, електроніки і сейсмогеология. Міждисциплінарні дослідження привели до нових програми
Гамма функції
12 сходиться рівномірно на кожному сегменті [pic], [pic]. Виберемо число [pic] так, щоб [pic]; тоді [pic] при [pic]. Тому існує число [pic] таке, що [pic] і [pic] на [pic]. Але тоді на [pic] справедл
загрузка...
ur.co.ua

енциклопедія  з сиру  аджапсандалі  ананаси  узвар