загрузка...

трусы женские
загрузка...
Реферати » Реферати з математики » Математика 16 століття: люди й відкриття

Математика 16 століття: люди й відкриття

Математика 16 століття : люди і відкриття

У 16 столітті європейські математики зуміли, нарешті, зрівнятися в мудрості з древніми греками і перевершити їх там, де успіхи еллінів були не великі: у рішенні рівнянь. Такий прорив у невідоме став підсумком довгої культурної революції. Вона почалася в 14 столітті, коли в Італії з'явилися перші великі поети Нового часу: Данте Аліг'єрі (1265-1321) і Франческо Петрарка (......). Подібно Гомеру, вони оголосили своїм сучасникам: прийшла пора будувати новий світ, рівняючись на античні зразки і намагаючись їх перевершити!

Міські комуни Італії 14-16 століть були багато в чому схожі на поліси Еллади. На їхніх вулицях гриміли настільки ж бурхливі політичні суперечки та релігійні проповіді, а в залах університетів звичайні лекції чергувалися з публічними диспутами на найрізноманітніші теми. Чи існують в природі ті "універсалії", про які писав Платон "Наприклад, чи законні загальні поняття" овоч "і" фрукт "- або існують тільки ріпа і капуста, яблуко і персик" Чи можливі в геометрії нові теореми, невідомі Евклиду " Чи можна вирішити ті геометричні задачі, які були не під силу древнім грекам - наприклад, розділити будь-який кут на три рівні частини "

Коли поширилося книгодрукування, суперечки цього роду почали хвилювати не тільки вузьке коло професіоналів. Тепер кожна освічена людина могла заглянути в книгу Евкліда або Архімеда і скласти свою думку про їхні відкриття. Італійські художники 15 століття навчилися застосовувати стереометрию в живописі. Вони винайшли техніку перспективи, завдяки якій плоскі зображення просторових тіл здаються не відрізняються від реальних предметів. Особливо відзначився в цій області Леонардо да Вінчі з Флоренції (1452-1519). Слідуючи по стопах Архімеда, він застосовував геометрію до вирішення механічних завдань: наприклад, Леонардо розрахував і побудував водолазний дзвін, створив проекти підводного човна і гелікоптера.

Ровесник Леонардо - професор Сципіон дель Ферро з Болоньї (ум.1526) присвятив все життя вирішення різних алгебраїчних рівнянь. Труднощі, пов'язані з незручними позначеннями невідомих величин і дій над ними, були величезні. Спробуйте, наприклад, вирішити квадратне рівняння, не використовуючи знаки (+), (-) і .., а замінюючи їх словами! Сципіон подолав ці труднощі. Комбінуючи рішення квадратного рівняння з витяганням кубічного кореня, він зумів вирішити рівняння виду (х.. = Рх + q). Виявилося, що воно має 3 різних кореня, і що до нього зводиться довільне кубічне рівняння виду (ах.. + Вх .. + сх + d = 0). Зараз ці факти очевидні для кожного старшокласника, бувалого графік функції (у = х ..) і розуміє, що таке лінійна заміна змінної в многочлене. Але італійці 16 століття не відали понять "функція", "графік" і "многочлен"!

Характерно, що Сципіон дель Ферро НЕ опублікував своє відкриття у пресі. Він не зміг викласти його просто і доступно для допитливого студента, а залишив лише записи, зрозумілі математикам вищої кваліфікації. Один з таких читачів - Нікколо Фонтана з Брешії (...) на прізвисько Тарталья ("Заїка") - розібрався в записах Ферро і почав застосовувати кубічні рівняння при складанні та вирішенні нових алгебраїчних задач. Ці завдання він пропонував своїм колегам-суперникам на регулярних диспутах, схожих на сучасні олімпіади для школярів або на шахові турніри. Перемога на такому турнірі була дуже важлива для професора: чим яскравіше його успіх, тим більше студентів відвідують його лекції, і тим вище оплачують його працю міська влада!

Деякий час Нікколо Тарталья був майже непереможний в математичних змаганнях; зрівнятися з ним міг тільки Джироламо Кардано (.......) з Павії. У 1535 році, обговорюючи підсумки чергового турніру, Тарталья і Кардано заговорили про рішення кубічних рівнянь. Тут Тарталья (ненавмисно, або заради похвальби) повідомив Кардано, що він знає спосіб вирішення кубічних рівнянь, відкритий ще професором Ферро.

Ми не знаємо, як багато нового розповів Тарталья Кардано. Але майстру вистачило цієї інформації для повного вирішення кубічного рівняння; в результаті Кардано зрівнявся з Тартальей в алгебраїчному майстерності. Він не став приховувати своє вміння від усіх, а поділився ним зі своїм кращим учнем - Лодовіко Феррарі (....). Той, прийшовши в захват, спробував розвинути нову техніку для розв'язання рівнянь ступеня 4 - і досяг успіху в цій справі. Тут Кардано відчув, що в математиці назріває переворот. Хто перший повідає людям про нові алгебраїчних відкриттях - той прославиться на весь світ і встане врівень з Евклидом!

У 1545 Кардано опублікував книгу "Велике мистецтво", в якій дав повне рішення рівнянь-многочленів ступеня 3 або 4 і тих завдань, які до них зводяться. При цьому Кардано чесно написав про заслуги Ферро, Тарталья і Феррарі. Проте, Тарталья був обурений: у нього вкрали його таємну славу! Пішов довгий запекла суперечка, що завершився уроком на всі часи. Честь нового відкриття дістається тому, хто перший повідомить про нього широкому загалу у всіх подробицях! Так спосіб вирішення кубічного рівняння (х.. = Рх + q) отримав назву "формула Кардано":

Формула Феррарі для коренів многочлена ступеня 4 виглядає ще складніше, оскільки в ній рішення йде в два етапи. Спочатку за рівнянням ступеня 4 складається допоміжне кубічне рівняння, а потім по ньому - квадратне рівняння.

Можна було сподіватися, що такий прийом дозволить вирішити будь-яке рівняння-многочлен. Але ця гіпотеза не виправдалася. Через 300 років після відкриттів Ферро його колеги - норвежець Нільс Абель і француз Еваріст Галуа - довели, що коріння деяких многочленів ступеня 5 НЕ виражаються через їх коефіцієнти за допомогою арифметичних дій і вилучення коренів будь-якого ступеня. Виявилося, що в алгебрі (як і в геометрії) існують завдання, що не розв'язні тими методами, які використовували винахідники цих завдань!

Але в 16 столітті такі думки не приходили в голову математикам. Їм важливо було розібратися в способах вирішення тих завдань, які не піддаються зусиллям окремих умільців. Як зробити ці способи загальнодоступними "В алгебрі цю проблему вдало вирішив Франсуа Вієт (1540-1603) - перший великий математик Франції. Він вперше використав звичні нам знаки арифметичних дій над відомими числами або над літерами, які зображують невідомі числа. Виклавши на цій мові всі відомі факти про рішення рівнянь-многочленів, Виет зауважив: якщо многочлен має повний набір коренів (число яких дорівнює його ступеня), то сам многочлен розкладається в добуток множників виду (х-а), де символ (а) позначає будь корінь многочлена.

З цієї формули: Р (х) = (х-а..) (х-а..) ... (х-а..) - видно, як висловити будь коефіцієнт многочлена через його коріння. Наприклад, вільний член дорівнює добутку всіх коренів, а їх сума дорівнює коефіцієнту при невідомому в ступеня (n-1). Всі ці співвідношення названі формулами Вієта. Вони дозволяють швидко знаходити "в умі" коріння багатьох многочленів по їх коефіцієнтам, але загального шляхи для таких пошуків вони не дають.

Відкриття Вієта виявило несподівану аналогію між многочленами і цілими числами: вони однаково просто розкладаються на нерозкладних множники! У світі чисел такими множниками є прості числа - а серед многочленів двочлен виду (х-а) або складніші нерозкладних многочлени. Які вони можуть бути "Наприклад, чи можна розкласти на лінійні множники многочлени (х..-2) Або (х.. +1), Не мають раціональних коренів"

Перший з них має два ірраціональних кореня: один - позитивний, інший - негативний. З таким числами Виет звертався вільно. Він навіть зумів висловити через них знамените число П - правда, лише у вигляді нескінченного твори:

2 / П = (соs п / 4) * (cos п / 8) * (cos п/16 ) ...

Все множники, які стоять у правій частині цієї рівності, Виет висловив через коріння різних ступенів з раціональних чисел. Вийшла така формула:

На жаль, вона не зручна для обчислення П з будь-якою точністю. Більш зручні формули цього роду були знайдені іншими математиками: Джоном Валлісом в 17 столітті і Леонардом Ейлером в 18 столітті.

Рішення рівнянь-многочленів ступенів 3 і 4 стало великим успіхом нової європейської математики. Але за всякий успіх доводиться платити. Платою за удачі Кардано і Феррарі виявилося поява уявних чисел. Так були названі квадратні корені з від'ємних чисел. Вони неминуче виникають при вирішенні кубічного рівняння за способом Кардано, навіть якщо таке рівняння має три дійсних кореня.

У середині 16 століття європейські математики вже звикли до цілим і дробовим, негативним і ірраціональним числам. Будь-які два числа цих сортів можна порівняти за величиною і зобразити точками на числовій прямій: (а) лежить праворуч від (в), якщо а

 
Подібні реферати:
Математика 16 століття: люди й відкриття
У 16 столітті європейські математики зуміли, нарешті, зрівнятися в мудрості з древніми греками і перевершити їх там, де успіхи еллінів були не великі: у рішенні рівнянь. Такий прорив у невідоме став підсумком довгої культурної революції.
Математики епохи Відродження
Нікколо Тарталья. Джироламо Кардано. Франсуа Вієт. Лука Пачіолі.
Диспут і формула Кардано
Про суперечку, який повинен був відбутися між прославленим математиком і не менш прославленим лікарем, висловлювалися лише найзагальніші здогади, так як толком ніхто нічого не знав. Говорили, що один з них обм
Комплексні числа
Поняття про комплексні числа. Дії з комплексними числами. Рішення рівнянь з комплексним змінним.
Комплексні числа
Поняття про комплексні числа. Дії з комплексними числами. Рішення рівнянь з комплексним змінним.
Алгебра
Алгебра - частина математики, яка вивчає загальні властивості дій над різними величинами і рішення рівнянь, пов'язаних з цими діями. Вирішимо задачу: "Віку трьох братів 30, 20 і 6 років. Через з
Історія відкриття комплексних чисел
"Крім і навіть проти волі того чи іншого математика, уявні числа знову і знову з'являються на викладках, і лише поступово по мірі того як виявляється користь від їх вживання, вони отримують більш і бол
Наближене рішення рівнянь
Якщо квадратні рівняння вирішували вже древні греки, то способи вирішення алгебраїчних рівнянь третього і четвертого ступеня були відкриті лише в XVI столітті. Ці класичні способи дають точні значення корені
Про алгебраїчних рівняннях вищих ступенів
У 1770-71 рр.. знаменитий французький математик Лагранж (1736-1819) публікує в Мемуарах Берлінської Академії свій мемуар «Думки над вирішенням алгебраїчних рівнянь» , в якому робить критичний перегляд всіх
Теорема Безу
Нехай P (x) має k +1 попарно різних коренів. За припущенням індукції a1, a2, ak, ..., ak +1 є корінням многочлена, а, значить, многочлен ділиться на проізеденіе (x-a1) ... (x-ak) , звідки виходить, чт
Комплексні числа
Вирішення багатьох завдань математики, фізики зводиться до вирішення алгебраїчних рівнянь. Тому дослідження алгебраїчних рівнянь є одним з найважливіших питань в математиці. Прагнення зробити рівняння
Історія відкриття комплексних чисел
Давньогрецькі математики вважали "справжніми" тільки натуральні числа, поступово складалося уявлення про нескінченність множини натуральних чисел.
Уявні числа
Давньогрецькі математики вважали "справжніми" тільки натуральні числа. Поступово складалося уявлення про нескінченність множини натуральних чисел.
Комплексні числа
Тут дається визначення комплексним числам, а також наведені формули для їх обчислень.
Рівняння і способи їх вирішення
Вирішення багатьох практичних завдань зводиться до вирішення різних видів рівнянь, які необхідно навчитися вирішувати.
Про деякі застосуваннях алгебри матриць
У § 2 отримано тотожність (1), яке використовується для доказу деяких теоретико-числових фактів (пропозиції 1-4); при цьому основну роль відіграють матриці-ціркулянти і їх визначники. Тут попутно д
Алгебраїчні числа
Початкові елементи математики пов'язані з появою навичок рахунки, що виникають у примітивній формі на порівняно ранніх ступенях розвитку людського суспільства, в процесі трудової діяльності.
Комплексні числа
Геометрична інтерпретація комплексного числа (КЧ); модуль КЧ; операції з КЧ, тригонометрическая форма КЧ, формула Муавра.
Про курс "Елементи теорії Галуа"
Виникнувши спочатку всередині математики, навички дослідницької діяльності будуть перенесені в професійну сферу. В силу цього важливо пробудити у майбутнього вчителя математики інтерес до предмета, прищепити йому навички самостійної творчої роботи.
загрузка...
ur.co.ua

енциклопедія  з сиру  аджапсандалі  ананаси  узвар