загрузка...

трусы женские
загрузка...
Реферати » Реферати з теплотехніки » Рішення зворотних задач теплопровідності для елементів конструкцій простої геометричної форми

Рішення зворотних задач теплопровідності для елементів конструкцій простої геометричної форми

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ПГД І ТМО

НА ТЕМУ: «розв'язання оберненої задачі ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ ДЛЯ

ЕЛЕМЕНТІВ КОНСТРУКЦІЙ прості геометричні форми»

ВИКОНАВ: СТ. ГР. МТ-98-1

ДАЦЕНКО И. Н.

ДНІПРОПЕТРОВСЬК

-2001

Постановки задач про теплообміні між твердим тілом або деякої системою і навколишнім середовищем розглядаються з точки зору співвідношень причина-наслідок. При цьому до причинним характеристикам теплообмінного процесу в тілі (системі) відповідно до прийнятої моделі віднесемо граничні умови і їх параметри, початкові умови, теплофізичні властивості, внутрішні джерела тепла і провідності, а також геометричні характеристики тіла або системи. Тоді наслідком буде те чи інше теплове стан, визначається температурним полем досліджуваного об'єкта.

Встановлення причинно - наслідкових зв'язків становить мета прямих задач теплообміну. Навпаки, якщо за певною інформацією про температурний поле потрібно відновити причинні характеристики, то маємо ту чи іншу постановку оберненої задачі теплообміну.

Постановки обернених задач, на відміну від прямих, не відповідають фізично реалізованим подіям. Наприклад, не можна звернути хід теплообмінного процесу і тим більше змінити плин часу. Таким чином, можна говорити про фізичну некоректності постановки оберненої задачі. Природно, що при математичної формалізації вона проявляється вже як математична некоректність (найчастіше нестійкість рішення) і зворотні задачі представляють собою типовий приклад некоректно поставлених задач в теорії теплообміну.

Гранична ОЗТ - відновлення теплових умов на межі тіла. До цього типу задач віднесемо також задачу, пов'язану з продовженням рішення рівняння теплопровідності від деякої межі, де одночасно задані температура Т (х *, т) і щільність теплового потоку q (х *, т);

Організація охолодження конструкції камер згоряння є одним з найважливіших питань проектування і в порівнянні з іншими типами теплових машин ускладнюється тим, що теплові процеси протікають при високих температурах К і тисках. Так як високотемпературні продукти згоряння рухаються по камері з дуже великою швидкістю, то різко зростають коефіцієнт конвективної тепловіддачі від гарячих продуктів згоряння до стінок камери і конвективні теплові потоки, які доходять в критичному перетині сопла до 23,26 - 69,78. Крім того, теплообмін в конструкції характеризується високим рівнем радіації в камері, що призводить до великих променистим тепловим потокам / 13 /.

Внаслідок потужних сумарних конвективних і променистих теплових потоків в стінці камери температура її може досягати значень перевищують (1000 -
1500С. Величина цих потоків визначається значеннями режимних параметрів, складом продуктів згоряння в ядрі газового потоку і в пристеночном шарі, а також температурою внутрішньої поверхні конструкції.
Через зміни діаметра проточної частини по довжині теплопровід від продуктів згоряння виявляється нерівномірним. Нерівномірним є також розподіл температури по периметру, обумовлене зміною складу продуктів згоряння.

Коефіцієнт тепловіддачі від продуктів згоряння визначається з урахуванням спільного впливу конвективного і променистого теплового потоків у відповідному перерізі конструкції вузла за значеннями параметрів (тиск, склад і температура продуктів згоряння в ядрі газового потоку і в пристеночном шарі) на сталому режимі експлуатації / 13 /.

Час виходу аналізованих конструкцій на усталений тепловий режим порівнянно і може виявитися навіть більшим часу їх роботи при експлуатації. У цих умовах завдання визначення теплового стану в період роботи зводиться до розрахунку прогріву їх під впливом високотемпературних продуктів згоряння / 1, 2 /.

Розглянемо наступну схему корпусу камери згоряння.

На поверхні в перерізі розташовується по дві точки виміру, розташованих в діаметрально протилежних точках периметра корпусу.
У перетині I - I корпусу сопла можна представити у вигляді одношарової необмеженої пластини, двошарової - перетин II - II (Рис.1).
Розрахункові схеми елементів конструкції представлені на малюнку 2 і 3

Зворотній теплова задача для пластини формулюється таким чином.
Потрібно за замірами температури і теплового потоку до пластини
(рис.2) при X = 0 знайти зміни температури і теплового потоку на поверхні X = 1

Рішення зворотного теплової задачі в такій постановці доцільно побудувати з використанням рішення задачі Коші / 3 /.

У просторі змінних задана деяка гладка поверхня Г. З кожною точкою зв'язується деякий напрям
, некасательное Г.

В околиці поверхні Г потрібно знайти рішення рівняння.

Задовольняє умовам Коші

де - безрозмірні час і координата.

Неважко переконатися, що рішення задачі (1), (2), записане у вигляді:

(3)

і є шуканим / 10 /.

Твердження про існування рішення (3), про аналітичності цього рішення та його єдиності в класі аналітичних функцій складають зміст відомої класичної теореми Коші - Ковалевської / 11 /.

Рішення (13) при заданих і дозволяє знайти шукані зміни температури і теплового потоку Однак у такій інтерпретації рішення (3), де функції відомі з експерименту з деякою заданою похибкою, необхідно враховувати і той факт, що обчислення операторів диференціювання нестійкий до збурень у вихідних даних / 12 /.
Таким чином, маємо типову некоректну задачу, для побудови стійкого розв'язання якої потрібно побудова регулярізірующіх алгоритмів.
Збережемо в рішенні (3) кінцеве число доданків N. Введемо позначення

(4)

Інтегруючи (4) отримаємо систему інтегральних рівнянь Вольтерра першого роду:

,

(5)

де k = 1, 2, ..., N.

Співвідношення для теплового потоку в (3) записується аналогічно. Надалі будемо вважати, що на поверхні X = 0 знімання тепла відсутня, тобто стінка теплоізольована. Тоді рішення (3) з урахуванням позначень (4) записується у вигляді

(6)

Таким чином, граничні умови при X = 1 відновлюються співвідношенням (6), в якому функції знаходяться з рішення інтегральних рівнянь (5)

(7)

де права частина задається наближено, тобто

Тут - числовий параметр, що характеризує похибка правій частині рівняння (7).

Задача (7) є, загалом випадки некоректно поставленої / 12 /.
Найбільш поширеним в даний час ефективним регулярізующім алгоритмом для її вирішення є алгоритм, заснований на мінімізації функціонала А.Н.Тихонова / 12 /.

(8)

З подальшим вибором параметра регуляризації за так званим принципом нев'язки.

Наприклад, якщо - будь - яка екстремаль функціоналу (8), що реалізує його глобальний мінімум при заданому і фіксованому
, то числовий параметр визначається з умови

(9)

Регулярізующій алгоритм (7) - (9) докладно вивчений в / 12 / і має стійкість до малих збурень правій частині (7).

Права частина рівняння (7) при вирішенні формувалася таким чином.
Функція характеризує зміну температури поверхні, задавалася таблицею. Початкові умови для 1, 2, ..., N-1) перебували зі співвідношення / 3 /:

(10)

де, - розподіл температури, задане в початковий момент часу. Звідки для рівномірного розподілу температури в початковий момент часу має

1, 2, ..., N-1

(11)

З аналізу теплофізичних і геометричних характеристик конструкції камери згоряння слід можливість представлення системи пластин теплового відносини (рис.1) у вигляді пластини з теплозахисного покриття і оболонки, яку можна розглядати як теплову ємність. Це дає можливість скористатися для побудови розв'язку оберненої теплової задачі для заданого вузла рішенням задачі Коші (3). В системі координат, представленої на Рис.1, поверхня при X = 0 будемо вважати теплоизолированной, тобто

(12)

Крім цього припустимо, система пластин в початковий момент часу прогріта рівномірно і, отже, початкові умови для функції мають вигляд (11).

При зроблених вище припущеннях умови Коші (12) для цієї задачі мають вигляд

(13)

Де

Підставляючи значення з умови (2) у вирішення завдання Коші (3) отримаємо

(14) де

Таким чином, вирішення цієї задачі має вигляд

(15)

де нам задана, а функції (n = 1, 2, ..., N) визначаються з рішення інтегральних рівнянь Вольтерра першого роду (5) методом регуляризації
(7) - (9).

Отже, шукані величини визначаються з рішення (4) з використанням регулярізірующего алгоритму (7) - (9).

Метод найменших квадратів.

Нехай функція задана на своїми значеннями в точках.
Розглянемо сукупність функцій

(16)

лінійно незалежних на.

Будемо відшукувати лінійну комбінацію цих функцій

(17) так, щоб сума квадратів її відхилень від заданих значень функції у вузлах мала б найменше можливе значення, тобто величина

(18) брала б мінімальне значення.

Зауважимо, що згадана сума є функцією коефіцієнтів

.

(19)
Тому для вирішення нашої задачі скористаємося відомим прийомом диференціального числення, а саме: знайдемо приватні похідні функції
по всім змінним і прирівняємо їх нулю:

де


Звідси бачимо, що метод найменших квадратів приводить до необхідності вирішувати систему алгебраїчних рівнянь

.

(20)
Можна довести, що якщо серед крапок немає співпадаючих і, то визначник системи (20) відмінний від нуля і, отже , ця система має єдине рішення (19). Підставивши його в (17), знайдемо шуканий узагальнений многочлен, ті є многочлен, що володіє мінімальним квадратичним відхиленням. Зауважимо, що при m = n коефіцієнти (19) можна визначити з умов причому в цьому випадку

Сторінки: 1 2
загрузка...
ur.co.ua

енциклопедія  з сиру  аджапсандалі  ананаси  узвар